martes, 23 de junio de 2009

Resumen


Al realizar diversas investigaciones, podemos resumir que :

- Pitágoras fue un importante matemático antiguo griego, y sus aportes siguen siendo utilizados hoy en día.

- En cuanto a la explicación del teorema de Pitágoras, aprendimos la demostración geométrica de éste como se ve en una entrada previa. Actualmente es una de las piedras angulares de la arquitectura moderna

- Gracias al video de Disney, supimos que Pitágoras hizo las bases de la música en cuanto a las notas. Además, que los intervalos musicales no podrían existir sin números. Por otro lado, considera las notas musicales ( escala de do) y las comparas con relaciones de distancias del sistema solar.

- Averiguamos que tuvo un tipo de grupo de discípulos, llamados los Pitagóricos, que atribuían todos sus descubrimientos a Pitágoras.

- Dentro de sus aportes más importantes están: sólidos regulares, números perfectos, números amigables, estudio de medias, números irracionales y los números figurados.

- Por último, la conclusión más importante es la que tiene que ver con un pensamiento de Pitágoras, el ver en situaciones que no parecieran tener que ver con la matemática, a los números. Ver números en todas partes.

domingo, 21 de junio de 2009

Aportes

A continuación los aportes de Pitágoras y su escuela pitagórica

  1. Una prueba del teorema de Pitágoras. Si bien los pitagóricos no descubrieron este teorema (ya era conocido y aplicado en Babilonia y la India desde hacía un tiempo considerable), sí fueron los primeros en encontrar una demostración formal del teorema. También demostraron el converso del teorema (si los lados de un triángulo satisfacen la ecuación, entonces el triángulo es recto).
  2. Ternas pitagóricas. Una terna pitagórica es una terna de números enteros (a, b, c) tales que a²+b²=c². Aunque los babilonios ya sabían cómo generar tales ternas en ciertos casos, los pitagóricos extendieron el estudio del tema encontrando resultados como cualquier entero impar es miembro de una terna pitagórica primitiva.
  3. Sin embargo, la solución completa del problema no se obtuvo hasta el siglo XIII cuando Fibonacci encontró la forma de generar todas las ternas pitagóricas posibles.
  4. Sólidos regulares. Los pitagóricos descubrieron el dodecaedro y demostraron que sólo existen 5 poliedros regulares.
  5. Números perfectos. Estudiaron los números perfectos, es decir aquellos números que son iguales a la suma de sus divisores propios (por ejemplo 6=1+2+3). Encontraron una fórmula para obtener ciertos números perfectos pares.
  6. Números amigables. Un par de números son amigables si cada uno es igual a la suma de los divisores propios del otro. Jámblico atribuye a Pitágoras haber descubierto el par amigable (220, 284).
  7. Números irracionales. El descubrimiento de que la diagonal de un cuadrado de lado 1 no puede expresarse como un cociente de números enteros marca el descubrimiento de los números irracionales.
  8. Medias. Los pitagóricos estudiaron la relación entre las medias aritmética, geométrica y armónica de dos números y obtuvieron la relación .
  9. Números figurados. Un número es figurado (triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal, etc) si tal número de guijarros se pueden acomodar formando el polígono correspondiente con lados 1,2,3, etc

Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Pit%C3%A1goras#Matem.C3.A1ticas

Demostración Teorema

A continuación una segunda explicación del teorema en flash, con el fin de hacerlo más comprensible.

Pitágoras en la música


Como se ve en el video de Disney, Pitágoras fue el inventor de los intervalos musicales y lo que hoy día conocemos como las notas. A continuación, una frase que nos aclara más sobre este tema.

Como indica Bernabé “se le atribuye a Pitágoras el descubrimiento de los intervalos musicales regulares; esto es, la comprobación del hecho de que las escalas se componían a base de dividir la cuerda en las proporciones 1:2, 3:2, 4:3.”. Y aun hay más. Una de las fuentes de conocimiento de nuestro autor relata lo siguiente: “Pitágoras, según dice Jenócrates [396-314 a. De J.C.], descubrió que los intervalos en música no pueden originarse sin el número, ya que consisten en la combinación de una cantidad con otra. Así que examinó a qué se debía el que los intervalos fueran concordantes o discordantes y, en general, el origen de todo lo armónico y lo inarmónico”.

Para Pitágoras los números son: principios absolutos en la Aritmética; principios aplicados en la Música; magnitudes en estado de reposo en la Geometría; magnitudes en movimientos en la Astronomía, sirviendo simultáneamente como medidas que determinan la naturaleza de las cosas y exponentes que las dan a conocer. "Dios geometriza por medio del sonido" decía Pitágoras; "En el principio era el Verbo", dice Juan, el vidente de Patmos.

La Doctrina de la música geométrica tiene como fundamento el anterior postulado; y explica la generación de los intervalos y los nodos por medio de la relación de distancias armónicas que existen entre las notas musicales y los planetas del Sistema Solar correspondiendo el Do-Re a la distancia de la Tierra a la Luna, Re-Mi, Luna- Venus y así sucesivamente. Siendo así el Sistema Solar (y en general todo el Universo) un gran pentagrama musical, donde cada planeta emite su nota particular con una gran gama de sonidos. Esto es lo que llamó Pitágoras, y que servía también como un proceso iniciático dentro de las Escuelas Pitágoricas: "La Música de las Esferas".

Donald en el país de las matemáticas

Un interesante y divertido video de Disney en el que nos presentan los aportes de Pitágoras en cuanto a la música.

Teorema de Pitágoras

Este Teorema fundamental de Pitágoras, nos plantea que la suma de los cuadrados de los catetos en un triángulo rectángulo, es igual al cuadrado de su hipotenusa.

Los griegos no manejaban el álgebra y para ellos era una cuestión geométrica. Siguiendo esa linea lo que dice el teorema de Pitagoras es que la suma de las áreas de los cuadrados a y b es igual al área del cuadrado h, como se muestra en la siguiente figura .

A continuación, la demostración geométrica de este teorema.


Como se puede ver se trata de rotar el triángulo rectángulo original y formar con el dos cuadrados. Uno exterior de lado (a+b) y otro interior de lado h2. Sabemos que este cuadrado interior es realmente cuadrado porque dado que el triángulo original es rectángulo la suma de los otros dos ángulos siempre es de 90º dejando los cuatro ángulos del cuadrado también de 90º.

Una vez realizada la operación de rotación la comprobación es sencilla. Tenemos dos formas de calcular el área total de la figura:

  1. A partir de sus lados: (a+b)(a+b) = (a+b)2
  2. Sumando 4 triángulos y un cuadrado interno: 4(ba/2) + h2

Si igualamos ambas expresiones y simplificamos:

(a+b)2 = 4(ba/2) + h2
a2 + 2ab + b2 = 2ba + h2

Y finalizamos eliminando el termino 2ab de ambos lados de la ecuación:

a2 + b2 = h2




Pitágoras: Mucho más que un teorema

A continuación, un video explicativo sobre la vida de Pitágoras y sus aportes. Entre ellos, el más famoso, el teorema de Pitágoras.